직선의 벡터 방정식

일반적인 직선의 방정식 y = mx + b 처럼, 벡터를 이용하여 직선을 표현하는 직선의 벡터 방정식을 알아본다.

 

아래 사진처럼 어떤 직선 L이 있다고 하자.

 

그리고, 직선 L상의 벡터를 얻기 위해서 직선위의 어떤 두 점 A, P를 종점으로 하는 두 벡터 a, p가 있다고 하자.

 

이 경우 점 A에서 점 P로 향하는 벡터 v를 알아내기 위해 벡터의 성질 중 하나인 "벡터의 동등성" 을 이용한다.

먼저, 벡터 v와 평행한 어떤 방향벡터 u를 생각해보자.

 

이 때, 벡터 u가 벡터 v와 동일해지는 어떤 실수 값 t가 반드시 존재한다. 따라서, 다음의 식이 성립한다.

 

또한, 벡터의 뺄셈을 이용하여 벡터 v = 벡터 p - 벡터 a임을 알 수 있다.

 

따라서, 벡터 v에 대한 두 등식을 사용하여 직선의 벡터 방정식을 도출해낼 수 있다.

 

위의 벡터방정식은 점 A에서 방향벡터 u 방향으로 t배만큼 떨어진 점 P의 위치를 결정한다.

이 때, 점 P의 위치는 항상 직선 L상에 위치한다.

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Reference

• https://mathjk.tistory.com/3546
• https://www.songho.ca/math/line/line.html